Elément d'analyse vectorielle :: Système usuelle de coordonnées

1 Introduction

2 Les vecteurs

    2.1 Vecteur lié

  Un vecteur est lié est entièrement défini par 3 caractères:

• son origine A
• son orientation
• sa valeur algébrique

Notation: (A\( \vec{u} \)) vecteur lié où A est l'origine de \( \vec{u} \)

    2.2  Vecteur glissant

  Un vecteur glissant est caractérisé par:

• son origine quelconque sur le support de ce vecteu
• son orientation
• sa valeur algébrique

Notation: (A,\( \vec{u} \)) est un vecteur glissant où A est un point quelconque sur \( \Delta \)

exemple: la tension d'un fil inextensible supportant une masse m.

   2.3 Vecteur libre
  Un vecteur libre est caractérisé par:

• une origine quelconque dans l'espace
• une orientation
• une valeur algébrique

exemple: le vecteur champ de pesanteur \( \vec{g} \).

3 Opérations sur les vecteurs

   3.1 Produit scalaire

  Le produit scalaire de deux vecteurs \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \) noté \( \vec{v_1}.\vec{v_2} \) est un scalaire défini par:

$$ \vec{v_1}.\vec{v_2} = v_1.v_2.\cos(\langle\vec{v_1},\vec{v_2}\rangle) $$
$$ \vec{v_1}.\vec{v_2} = \|\vec{v_1}\|.\|\vec{v_2}\|.\cos(\theta) $$

avec: \( v_1=\|\vec{v_1}\| ; v_2=\|\vec{v_2}\| \) et \( \theta = \langle\vec{v_1},\vec{v_2}\rangle \)

Il représente le produit du module de l'un sur la mesure algébrique de la projection orthogonale de l'autre sur la direction du premier.

Propriétés:

• \( \vec{v_1}.\vec{v_2}=\vec{v_2}.\vec{v_1} \)
• \( \vec{v_1}.(\vec{v_2}+\vec{v_3}) = \vec{v_1}.\vec{v_2} + \vec{v_1}.\vec{v_3} \)
• \( \vec{v_1}.(\lambda \vec{v_2}) = \lambda(\vec{v_1}.\vec{v_2}) \)
• Si \(\vec{v_1}.\vec{v_2}=0\) et \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\) sont non nuls alors \(\vec{v_1}\bot\vec{v_2} \)

Remarque: \( \vec{v_1}(\vec{v_2}.\vec{v_3}) \neq (\vec{v_1}.\vec{v_2})\vec{v_3} \)

Expression analytique du produit scalaire \( (\vec{v_1}.\vec{v_2}) \):

Dans un espace muni d'un repère ou d'une base ortho-normée directe (OND); \( B(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) \). On donne:

\[ \vec{v_1}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
;
\vec{v_2}
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2 \\
z_2
\end{pmatrix}
\]

Alors: \( \vec{v_1}.\vec{v_2} = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 \)
Remarque: Le produit scalaire est une grandeur intrinsèque, indépendante de la base choisi pour la calculer.

    3.2 Produit vectorielle

  Le produit vectorielle de deux vecteurs \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \) qu'on représente par le symbole \( \vec{v_1} \wedge \vec{v_2} \), est un vecteur \( \vec{v_3} \) dont:

• la direction est celle de la normale au plan contenant \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \), c'est à dire \( \vec{v_3} \bot \vec{v_1} et \vec{v_3} \bot \vec{v_2} \).
• le sens est telque le trièdre \( (\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}) \)  soit direct.

Il est déterminé en appliquant la règle du "Tire-Bouchon". c-à-d le sens de \( \vec{v_3} \) est donné par le sens d'ouverture du bouchant vers le haut en tournant de \( \vec{v_1} \) vers \( \vec{v_2} \).

Le module est égale à: \( \|\vec{v_3}\| = \|\vec{v_1}\wedge \vec{v_2}\| = v_1.v_2|\sin(\theta)| \)
avec \( v_1=\|\vec{v_1}\| \) ; \( v_2=\|\vec{v_2}\| \) et \( \theta = \langle\vec{v_1},\vec{v_2}\rangle \)
Géometriquement, ce module représente l'aire du parallélogramme construit sur les vecteurs \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\).

Propriétés:

• \( \vec{v_1} \wedge \vec{v_2} = -\vec{v_2} \wedge \vec{v_1} \)
• \( \vec{v_1} \wedge (\vec{v_2}+\vec{v_3}) = \vec{v_1} \wedge \vec{v_2} + \vec{v_1} \wedge \vec{v_3} \)
• \( \vec{v_1} \wedge (\lambda \vec{v_2}) = \lambda \vec{v_1} \wedge \vec{v_2} \)
• Si \( \vec{v_1}\wedge \vec{v_2}=\vec{0} \) et, \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\) sont non nuls, alors \( \vec{v_1}=\lambda \vec{v_2} \) avec \(\lambda \in \pmb{\mathbb{R}} \)
• le produit vectoriel n'est pas associatif: \( \vec{v_1}\wedge (\vec{v_2}\wedge \vec{v_3}) \neq (\vec{v_1}\wedge \vec{v_2})\wedge \vec{v_3} \)

$$ (\vec{v_1} \wedge \vec{v_2}) \wedge \vec{v_3} = (\vec{v_1}.\vec{v_3}).\vec{v_2} - (\vec{v_2}.\vec{v_3}).\vec{v_1} $$

Expression analytique du produit scalaire \( (\vec{v_1}.\vec{v_2}) \):

Dans une base OND \( B(\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}) \). On donne:

\[ \vec{v_1}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
;
\vec{v_2}
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2 \\
z_2
\end{pmatrix}
\]

Alors:
\[ \vec{v_1} \wedge \vec{v_2} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix}
\wedge
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2 \\
z_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{vmatrix}
y_1 & y_2 \\
z_1 & z_2 \\
\end{vmatrix} \\
-\begin{vmatrix}
x_1 & x_2 \\
z_1 & z_2 \\
\end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix}
x_1 & x_2 \\
y_1 & y_2 \\
\end{vmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
y_1z_1-y_2z_1 \\
x_1z_2-x_2z_1 \\
x_1y_2-x_2y_1
\end{pmatrix}
\]
Remarque: Ce résultat n'est valable que lorsque les deux vecteurs \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \) sont exprimés dans une meme base.